每日一题 2025-05-15
每日一题 2025-05-15
对于$x_1,x_2,\cdots,x_n$是正实数，求证
$$(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\leqslant 1+s+ \frac{s^{2}}{2!} +\frac{s^{3}}{3!}+\cdots+\frac{s^{n}}{n!}$$ 其中$s=\sum_{i=1}^{n}x_{i}$是所有$x_i$的和。
证明
- 有细节问题
先考虑什么时候取到等号，注意到这个函数左侧对称时取等号
对于多个自变量的不等式首先考虑能否转化为只有一个自变量的形式，比较方便的方式是寻找对称性
我们先计算对于$s$固定的时候，能否算出最大的函数值。我们有一个期望是在$x_1=x_2= \cdots =x_n$的时候左侧可以取到最大值。
我们考虑这样的一个变换：$$\ln [(1+x_{1})(1+x_{2})\cdots(1+x_{n})]=\sum_{i=1}^{n}\ln(1+x_{i})$$
我们现在考虑琴生不等式：
如果函数的导数$f’(x)$在区间$[x_{1},x_{2}]$上单调递增，那么对于任意$x_{1} $和$x_{2}之间的$a,b$有
$$\frac{f(a)+f(b)}{2}\geqslant f\left(\frac{a+b}{2}\right)$$
我们可以知道对于对数函数总是可以有琴生不等式，于是可以写:
$$\sum_{i=1}^{n}\ln(1+x_{i})\leqslant n\ln (1+\frac{s}{n})$$
于是可以证明此时左侧取到最大值，于是可以证明原不等式：
$$(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\leqslant (1+\frac{s}{n}) (1+\frac{s}{n}) \cdots(1+\frac{s}{n}) \leqslant 1+s+ \frac{s^{2}}{2!} +\frac{s^{3}}{3!}+\cdots+\frac{s^{n}}{n!}$$